TUGAS MATEMATIKA

RELASI DAN FUNGSI

MUHAMMAD ADDROMI

KELAS 2.2

SMP LAKSAMANA MARTADINATA

TAHUN 2015

RELASI DAN FUNGSI

1.      RELASI

a.       Relasi dalam Himpunan

·         Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya memetakan setiap anggota pada himpunan A (x ∈ A) dengan anggota pada himpunan B (y ∈ B)

·         Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu, contoh (x,y) ∈ R

·         Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B)

b.      Notasi dalam Relasi

·         Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan (x,y) ∈ R

·         Contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka:

            F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}

xRy  dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y

c.       Contoh Relasi

Humpunan A : himpunan nama orang

       A={Via, Andre, Ita}

Himpunan B : himpunan nama makanan

       B={es krim, coklat, permen}

Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:

A                                 B

A : Domain

B : Kodomain

R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “

Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A

d.      Cara Menyatakan Relasi

1)      Diagram Panah

A                                 B

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B

2)      Himpunan Pasangan Berurutan

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

3)      Diagram Kartesius

4)      Tabel

Nama	Makanan
Via	Permen
Via	Coklat
Andre	Coklat
Andre	Es Krim
Ita	Es Krim

5)      Matriks

·         Baris = domain

·         Kolom = kodomain

	Permen	Coklat	Es krim
Via	1	1	0
Andre	0	1	1
Ita	0	0	1

 

2.      FUNGSI

a.       Fungsi dari Himpunan

·         Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

·         Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B

·         Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.

·         Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.

·         Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk :                 f : A → B

artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.

·         Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

b.      Domain, Kodomain, dan Jelajah

·         f : A → B

·         A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.

·         Misalkan f(a) = b,

maka b dinamakan bayangan (image) dari a,

dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

·         Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.

c.       Penulisan Fungsi

1)      Himpunan pasangan terurut.

·         Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :

f = {(2, 4), (3, 9)}

2)      Formula pengisian nilai (assignment)

·         f(x) = x² + 10,

·         f(x) = 5x

 Contoh fungsi:

1.        Diketahui fungsi ƒ :

dan fungsi ƒ ditentukan dengan rumus ƒ(x) = x² + 1. Jika ƒ(a) = 10, hitunglah nilai a yang mungkin.

a.      a = 3 atau a = -3

b.      a = -3 atau a = 3

c.       a = -3 atau a = -3

d.      a = 3 atau a = 3 

Jawaban :

Untuk x = a, maka ƒ(a) = (a)² + 1 = a² + 1. Karena diketahui ƒ(a) = 10, maka diperoleh hubungan :

a² + 1 = 10

a² – 9 = 0

(a + 3)(a – 3) = 0

a = -3 atau a = 3

jadi ƒ(a) = 10 untuk nilai-nilai a = -3 atau a = 3.

Jadi jawabannya b. a = -3 atau a = 3

2.       Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9) serta melalui titik (-1,0)

Jawaban : 

y = a(x - p)² + q

= a(x - 2)² – 9

melalui (-1,0) => y = a(x - 2)² – 9

0 = a(-1 - 2)² – 9

9 = 9a

a = 1

Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)² – 9

= (x² - 4x + 4) – 9

= x² - 4x – 5

3.       Misalkan R suatu relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh R ={(x,y)/ x,yEN, x+3y =12}. Tentukan:

a.   Tulis R dalam bentuk himpunan pasangan terurut.

b.   Carilah domain, range dan invers dari R

Jawab:

a.      R sebagai himpunan pasangan terurut

R = {(2,3),(6,2),(9,1)}

b.      Domain dari R = D = {3, 6, 9}

Range dari R =E ={1, 2, 3}

R-1 ={(b,a) / (a,b) ER} ={(3,3),(2,6),(1,9)}